Calcolo della Probabilità di raggiungere un certo Rendimento di Portafoglio

Con quale probabilità il mio portafoglio porterà a casa il risultato atteso?

Uno dei temi forse più trascurati in finanza è l'ultimo passo nel processo di definizione di un Portafoglio di Investimento.

In questo articolo ripercorreremo, passo per passo, con alcuni esempi, il processo completo per il calcolo della Probabilità di ottenere un certo rendimento dal nostro portafoglio. Sotto riassumo gli step, ma non lasciatevi intimorire dall'apparente difficoltà dell'argomento poiché semplificheremo al massimo i concetti.

Con una conoscenza basilare di algebra lineare, riuscirete a seguire l'intero percorso. La comprensione delle equazioni incluse non è comunque necessaria poiché ogni formula verrà descritta.

Passaggi:

-Recupero dei dati storici

-Concetti di base

-Calcolo del Rendimento di Portafoglio

-Calcolo della media e deviazione standard di Portafoglio

-Utilizzo della Funzione Normale di Distribuzione dei Rendimenti

-Calcolo della Probabilità di realizzare un Rendimento Target

Recupero dei dati Storici

Il recupero dei dati storici richiede attenzione poiché sulla base degli asset in portafoglio sarà necessario avere a disposizione almeno una decina di anni con frequenza giornaliera.

Per chi di voi utilizza già i dati storici non sarà un problema, per coloro che non hanno mai fatto questo tipo di analisi può fare riferimento a siti tipo https://finance.yahoo.com/ oppure Investing.com oppure ancora ricorrendo a siti specializzati come eSignal, iqFeed.

Qualora i vostri strumenti di investimento siano ETF, potete fare riferimento direttamente ai dati giornalieri forniti generalmente dall'emittente oppure all'indice a cui l'ETF si riferisce.

Ricordo che sul sito Justetf.com sono forniti i dati in tempo reale della volatilità storica ad un anno ed il rendimento su vari orizzonti temporali.

Per ogni Asset (strumento finanziario) in portafoglio dovrete reperire o calcolare il rendimento storico annualizzato su minimo 10 anni (µ), la volatilità annualizzata (σ) sullo stesso orizzonte e calcolare il peso medio (ω) di ogni asset sul totale del portafoglio.

Concetti di Base

Il Rendimento storico di uno strumento finanziario si calcola comunemente come rendimento annuale composto (considerando quindi l'effetto della capitalizzazione, cioè i dividendi si assumono reinvestiti immediatamente nello stesso strumento ed il capitale via via accresciuto per effetto del valore quota contribuisce anch'esso ad accrescere il capitale.

CAGR=(Valore finale / Valore iniziale​​)^(1/anni)​ − 1 [1]

Esempio pratico:

Valore iniziale S&P500 al 22/2/2016: 1.949

Valore finale S&P500 al 22/2/2025: 6.013

CAGR=(6013/1949)^(1/10)-1=11,9%

Il CAGR è appunto il compound annual gross rate.

Il Rischio, in questo caso inteso come volatilità: è misura della variabilità dei rendimenti.

I rendimenti sono calcolati come il logaritmo dei prezzi nel periodo considerato.

Esempio pratico:

Assumendo di avere i prezzi storici dello S&P500 su 10 anni, calcolo i rendimenti giornalieri logaritmici: rt​=ln(Pt/1​Pt-1​​)

Dopodiché calcolo la deviazione standard sull'intero periodo:

σd= sqr [1/(T-1) ∑​(rt​−rm)^2​] [2]

dove la sommatoria si effettua per l'intervallo T=[1;T]=[1;252x10].

La deviazione std così calcolata andrà poi annualizzata sui 252 giorni di mercato:

σ=σd x sqr(252)

Se per un anno osservato la σd dei rendimenti giornalieri è di 1.2%, la volatilità annualizzata sarà:

σ= 0,012 x sqr(252) =0,19=19%

Se avessi utilizzato dei dati settimanali o mensili per il calcolo della deviazione std puntuale, avrei dovuto moltiplicare per sqr(52) oppure sqr(12).

Distribuzione normale: spesso si assume che i rendimenti seguano una distribuzione a campana (gaussiana), anche se nella realtà è una semplificazione. Normalmente essi hanno una distribuzione detta "Fat Tails", fenomeno noto in statistica come kurtosi elevata, il che significa semplicemente che le code della curva gaussiana sono più corpose:

La linea verde scuro è sopra la linea della distribuzione normale tradizionale. Questo evidenzia che sono possibili perdite significative con una frequenza maggiore rispetto alla tradizionale distribuzione normale, così pure come si possono avere guadagni inaspettati.

C'è poi un effetto di asimmetria tra la componente obbligazionari e quella azionaria. Per la componente azionaria, le perdite improvvise sono più violente rispetto ai guadagni graduali. Per le obbligazioni, invece, la tendenza è di avere distribuzioni più stabili, ma anch’esse non perfettamente normali.

Inoltre la volatilità non è stabile nel tempo. Può variare bruscamente oppure in fasi laterali abbassarsi. La varianza non è quindi costante come prevede la distribuzione normale.

Variabili non lineari provocano poi ulteriori scostamenti dalla perfetta distribuzione normale, ad esempio l'effetto leva tende a far deviare ulteriormente verso distribuzioni non normali. In fasi di mercato fortemente bear le correlazioni tra asset aumentano e questo provoca ulteriore asimmetricità nella distribuzione dei rendimenti.

In definitiva, le distribuzioni più idonee a rappresentare una distribuzione di rendimenti tipici di portafogli di investimento sono distribuzioni "t-student", "Levy" e "Lognormale", con code più corpose. In ogni caso ai fini della presente analisi non è rilevante e non influisce comunque sul procedimento di calcolo.

C'è poi il concetto di volatilità di portafoglio, che approfondiremo successivamente e che si calcola come:

σp​=sqr( wT x Σw )​ [3]

σp​=volatilità del portafoglio

w=vettore dei pesi degli asset in portafoglio

wT= matrice trasposta della matrice w

Σ=è la matrice di covarianza dei rendimenti degli asset​

Calcolo del Rendimento di Portafoglio

Formula del Rendimento Atteso

Il rendimento atteso di un portafoglio con n asset si calcola come:

Dove:

• ωi= peso dell’asset i-esimo nel portafoglio

• E(Ri) = µi = rendimento atteso dell’asset i-esimo

Esempio:

• Asset A: rendimento atteso µ 10%, peso ω 50%

• Asset B: rendimento atteso µ 5%, peso ω 50%

E(Rp)=µp =0.5⋅10%+0.5⋅5%=7.5%

Calcolo della Volatilità di Portafoglio

La volatilità di portafoglio misura quanto oscillano i valori dei tuoi investimenti nel tempo.

Un portafoglio ad alta volatilità ha forti sbalzi di valore - può guadagnare o perdere notevolmente in brevi periodi. Uno a bassa volatilità mantiene un valore relativamente stabile.

È simile alla differenza tra guidare su una strada montagnosa con curve ripide (alta volatilità) o su un'autostrada pianeggiante (bassa volatilità). Entrambe possono portarti a destinazione, ma con esperienze molto diverse durante il viaggio.

La volatilità non determina necessariamente il rendimento finale, ma influenza l'intensità delle oscillazioni che dovrai sopportare psicologicamente.

Attenzione ad un concetto importante, se ho a disposizione uno storico di dieci anni e voglio utilizzarli per calcolare una volatilità del portafoglio da considerare per calcolare "la probabilità di avere un certo rendimento futuro del mio portafoglio", devo calcolare la volatilità utilizzando i dati giornalieri o settimanali o mensili e poi convertirli in valori annuali.

Ne abbiamo già parlato nella sezione dei concetti di base, è bene aver ben chiaro questo aspetto per non incorrere in grossolani errori di calcolo. Personalmente ritengo un buon approccio utilizzare dati di rendimento giornalieri. Ricordiamoci poi che per il calcolo della volatilità giornaliera occorre utilizzare i rendimenti logaritmici.

Facciamo un esempio:

Per calcolare la deviazione standard di portafoglio (volatilità σp) composta da due asset A,B, partendo dai prezzi PA,t;PA,t-1 e PB,t;PBt-1 , calcoleremo per prima cosa i rendimenti dei due asset RA ed RB al tempo t:

RA,t = Ln ( PA,t / PA,t-1 )

RB,t = Ln ( PB,t / PB,t-1 )

si procede poi al calcolo della volatilità individuale di A e B

σA = deviazione standard (RA )

σB = deviazione standard (RB )

si passa poi al calcolo della correlazione tra A e B:

ρA,B​=correlazione (RA​,RB​)

Per passare infine al calcolo della correlazione di portafoglio σP tramite la formula [4]

Riassumendo per un portafoglio di soli due Asset (ad esempio obbligazioni ed azioni),

il calcolo delle varianza del portafoglio è dato dalla seguente formula:

σp^2 = ωA^2 · σA^2 + ωB^2 · σB^2 + 2 · ωA · ωB · σA · σB · ρAB [4]

ρAB=covarianza tra A e B

La covarianza tra A e B è semplicemente la loro correlazione.

σA, σB =deviazioni standard dei rispettivi asset.

ωA, ωB=peso dell'asset A e B nel portafoglio.

Esempio:

• Asset A: σ1=15%,

• Asset B: σ2=5%,

• ρ=0.3,

• Pesi: ω1=0.5, ω2=0.5,

Applicando la [4]

σp^2=(0.5^2⋅15%^2)+(0.5^2⋅5%^2)+2⋅0.5⋅0.5⋅0.3⋅15%⋅5%=73.8%

da cui essendo la volativilità di portafoglio = sqr (σp^2) secondo la formula [3]

σp=sqr(73.8%)≈8.6%.

Utilizzo della Funzione Normale di Distribuzione dei Rendimenti

Assumiamo che la distribuzione dei rendimenti sia assimilabile ad una funzione Normale, cosa questa non propriamente vera, ai fine della metodologia nulla cambia.

Secondo l'assunzione suddetta, utilizziamo la funzione di distribuzione cumulativa normale (CDF - funzione di distribuzione cumulativa) della normale per stimare la probabilità di ottenere un rendimento maggiore o uguale ad un certo target RT.

Ricordo che la funzione cumulativa normale di una variabile X fornisce la probabilità che X assuma un valore inferiore o uguale ad un certo valore della variabile x, matematicamente si definisce:

F(x) = P(X<=x)

dove F(x) è la probabilità cumulativa sino ad x.

A questo punto possiamo trasformare il nostro rendimento target RT in uno Z-score:

Z = [ RT - E(RP) ] / σp

Lo Z-score misura di quante deviazioni standard il rendimento target è distante dalla media della distribuzione gaussiana che approssima al nostra distribuzione reale.

E(RP) = è il rendimento del portafoglio, già calcolato in precedenza

σp = è la volatilità di portafoglio già calcolata in precedenza.

Possiamo finalmente calcolare la probabilità di ottenere dal nostro portafoglio un rendimento superiore ad RT utilizzando la relazione:

P ( RP >= RT ) = 1 - Φ(Z)

dove Φ(Z) è la funzione di distribuzione cumulativa normale standard (cioè la CDF do N(0,1)).

Se si vuole calcolare una probabilità >= di un certo valore non si usa Φ(Z) bensì 1-Φ(Z), poiché per definizione la funzione CDF è F(x) = P(X<=x).

Esempio: abbiamo già calcolato il rendimento atteso di un portafoglio E(RP) con le formule precedenti, di conoscere la volatilità di portafoglio ( σp ) e di voler calcolare la probabilità di raggiungere un rendimento target ( RT):

• Rendimento atteso di portafoglio E(RP) = 8%

• Volatilità di portafoglio σp= 12%

• Target di portafoglio RT= 5%

Calcolo dello Z-score = (0.05-0.08)/0.12= -0.25

Tramite l'utilizzo della Tavola delle probabilità cumulate per valori negativi di Z, in corrispondenza dei valori di -0.2 e 0.05 in tabella si rileva una probabilità di avere rendimenti minori o uguali del 5% del 40.13%:

Φ(-Z) = 1 - Φ(Z)

Φ(-0.25) = 0.4013

Da cui deriva che in termini di probabilità: P(RP>=5%) = 1-Φ(-0.25) = 0.5947 = 59.87%

Abbiamo quindi il 60% di probabilità di ottenere un rendimento >= al 5%.

Conclusioni

Determinare la probabilità avere un rendimento superiore ad un certo rendimento target non è un procedimento banale ma può essere portato a termine con conoscenze di base di algebra e statistica.

Il beneficio indubbio è quello di poter comprendere e di conseguenza adattare la strategia di portafoglio ai nostri obiettivi. Non è scontato che aggiungendo asset con rendimenti attesi elevati comporti un incremento delle probabilità di raggiungere il rendimento desiderato.

Altresì non è scontato che aggiungere al portafoglio asset meno volatili deprima automaticamente il rendimento del portafoglio.

Avere a disposizione un modello robusto di valutazione che consenta l'analisi multi-scenario è un vantaggio competitivo che il risparmiatore-investitore può e deve avere per meglio gestire il rischio di portafoglio.

Ragionare in termini di probabilità significa avere una valutazione quantitativa di accadimento dell'evento con la sua magnitudine. Partendo da questa consapevolezza si possono adeguare gli scenari a nuovi obiettivi e rivalutarne le probabilità.

Reiterare le valutazioni per trovare una soluzione di ottimo è lo step successivo.

Esistono ulteriori strumenti utilizzabili in questi contesti che semplificano l'analisi a livello operativo ma rendono meno chiaro il processo di valutazione degli aspetti che impattano sul calcolo. Il metodo di simulazione Montecarlo è sicuramente una ottima alternativa, porta spesso a risultati molto simili all'analisi tradizionale descritta nel presente articolo.